โดเมนและช่วงของฟังก์ชัน (2024)

คำจำกัดความของโดเมนและช่วง

โดเมน

ที่โดเมนของฟังก์ชั่นคือชุดที่สมบูรณ์ของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรอิสระ

ในภาษาอังกฤษธรรมดาคำจำกัดความนี้หมายถึง:

โดเมนเป็นชุดของทั้งหมดที่เป็นไปได้x-ค่าที่จะทำให้ฟังก์ชั่น "ทำงาน" และจะส่งออกจริงy-ค่า

เมื่อค้นหาไฟล์โดเมน, จดจำ:

• ตัวส่วน (ล่าง) ของเศษส่วนไม่สามารถลูกค้าได้
• หมายเลขภายใต้เครื่องหมายรูทสแควร์ต้อง bepositiveในส่วนนี้

การแก้ปัญหาโดเมนและช่วงคณิตศาสตร์

เครื่องมือนี้รวมพลังของเอ็นจิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่เก่งในการแก้สูตรทางคณิตศาสตร์เข้ากับพลังของแบบจำลองภาษาขนาดใหญ่ GPT เพื่อแยกวิเคราะห์และสร้างภาษาธรรมชาติสิ่งนี้สร้างตัวแก้ปัญหาคณิตศาสตร์นั่นแม่นยำกว่า CHATGPT มีความยืดหยุ่นมากกว่าเครื่องคิดเลขและคำตอบที่เร็วกว่าครูสอนพิเศษของมนุษย์

โดเมนและช่วงการโต้ตอบ

หลังจากจบบทเรียนนี้ไปยังเครื่องคิดเลขแบบโต้ตอบของเราเพื่อช่วยให้คุณค้นหาไฟล์โดเมนและช่วงของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 1a

นี่คือกราฟของ `y = sqrt (x+4)`:

โดเมนของฟังก์ชั่นนี้คือ `x ≥ −4 'xไม่สามารถน้อยกว่า `−4`หากต้องการดูว่าทำไมให้ลองใช้ตัวเลขน้อยกว่า `−4` (เช่น` −5` หรือ `−10`) และบางอย่างมากกว่า` −4` (เช่น `−2` หรือ` 8`) ในเครื่องคิดเลขของคุณสิ่งเดียวที่ "ทำงาน" และให้คำตอบกับเราคือสิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่าหรือเท่ากับ `−4`สิ่งนี้จะทำให้จำนวนภายใต้สแควร์รูทเป็นบวก

หมายเหตุ:

1. วงกลมที่ล้อมรอบ (สี) บนจุด `(-4, 0)`สิ่งนี้บ่งชี้ว่าโดเมน "เริ่ม" ณ จุดนี้
2. เราเห็นวิธีการวาดกราฟที่คล้ายกันในส่วนที่ 4กราฟของฟังก์ชั่น-สำหรับการสนทนาขั้นสูงเพิ่มเติมโปรดดูเพิ่มเติมวิธีการวาด y^2 = x - 2-

วิธีค้นหาโดเมน

โดยทั่วไปเรากำหนดไฟล์โดเมนของแต่ละฟังก์ชั่นโดยมองหาค่าเหล่านั้นของตัวแปรอิสระ (โดยปกติx) เราคืออะไรอนุญาตใช้.(โดยปกติเราต้องหลีกเลี่ยง 0 ที่ด้านล่างของเศษส่วนหรือค่าลบภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง)

พิสัย

ที่พิสัยฟังก์ชั่น OFA เป็นชุดที่สมบูรณ์ของทั้งหมดที่เป็นไปได้ค่าที่เกิดขึ้นของตัวแปรตาม (y,โดยปกติ) หลังจากที่เราได้แทนที่โดเมน

ในภาษาอังกฤษธรรมดาคำจำกัดความหมายถึง:

ช่วงคือผลลัพธ์y-ค่าที่เราได้รับหลังจากแทนที่ทั้งหมดที่เป็นไปได้x-ค่า

วิธีค้นหาช่วง

• ที่พิสัยของฟังก์ชั่นคือการแพร่กระจายของความเป็นไปได้y-ค่า (ขั้นต่ำy-ค่าสูงสุดy-ค่า)
• แทนที่ต่างกันx-ค่าเป็นนิพจน์สำหรับytosee เกิดอะไรขึ้น(ถามตัวเองว่า: คือyคิดบวก?ติดลบเสมอ?หรืออาจไม่เท่ากับค่าบางอย่าง?)
• ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณมองหาขั้นต่ำสุดและขีดสุดค่าของy-
• วาดอันร่าง!ในวิชาคณิตศาสตร์มันเป็นความจริงมากที่ภาพมีค่าหนึ่งพันคำ

ตัวอย่าง 1B

ลองกลับไปที่ตัวอย่างด้านบน `y = sqrt (x + 4)`

เราสังเกตเห็นว่าเส้นโค้งอยู่บนหรือสูงกว่าแกนแนวนอนไม่ว่าจะมีค่าเท่าใดxเราพยายามเราจะได้รับค่าเป็นศูนย์หรือเป็นบวกเสมอy-เราพูดว่าพิสัยในกรณีนี้คือy≥ 0.

เส้นโค้งดำเนินไปในแนวตั้งตลอดกาลนอกเหนือจากสิ่งที่แสดงในกราฟดังนั้นช่วงจึงเป็นค่าที่ไม่เป็นลบทั้งหมดของ `y`

ตัวอย่างที่ 2

กราฟของเส้นโค้งy= บาปxแสดงพิสัยอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1

ที่โดเมนของy= บาปxคือ "ค่าทั้งหมดของx"เนื่องจากไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับค่าx-(ใส่หมายเลขใด ๆ ลงในฟังก์ชั่น "บาป" ในเครื่องคิดเลขของคุณหมายเลขใด ๆ ควรทำงานและจะให้คำตอบสุดท้ายระหว่าง −1 และ 1)

จากการทดลองเครื่องคิดเลขและจากการสังเกตเส้นโค้งเราสามารถเห็นไฟล์พิสัยเป็นyระหว่าง−1และ1-เราสามารถเขียนสิ่งนี้เป็น−1 ≤y≤ 1.

กราฟนี้มาจากไหน?เราเรียนรู้เกี่ยวกับกราฟ Sin และ Cos ในภายหลังกราฟของบาป x และ cos x

หมายเหตุ 1:เพราะเราสมมติว่ามีเพียงจำนวนจริงเท่านั้นที่จะใช้สำหรับx-ค่าตัวเลขที่นำไปสู่การหารด้วยศูนย์หรือตัวเลขจินตภาพ(ซึ่งเกิดขึ้นจากการค้นหาสแควร์รูทของจำนวนลบ) ไม่รวมที่ตัวเลขที่ซับซ้อนบทที่อธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับจำนวนจินตนาการ แต่เราไม่รวมตัวเลขดังกล่าวในบทนี้

โน้ต 2:เมื่อทำตัวอย่างสแควร์รูทหลายคนถามว่า "เราไม่ได้รับ 2 คำตอบบวกหนึ่งบวกและลบหนึ่งเมื่อเราพบรากสแควร์?"สแควร์รูทมีค่ามากที่สุดไม่ใช่สองดูการสนทนานี้:สแควร์รูท 16 - คำตอบกี่คำ?

หมายเหตุ 3:เรากำลังพูดถึงโดเมนและช่วงของฟังก์ชั่น, ที่มีที่มากที่สุดหนึ่งy-ค่าสำหรับแต่ละx-ค่าไม่ความสัมพันธ์(ซึ่งสามารถมีมากกว่าหนึ่ง)

การค้นหาโดเมนและช่วงโดยไม่ต้องใช้กราฟ

การหาโดเมนและช่วงเวลานั้นง่ายกว่าเสมอเมื่ออ่านออกจากกราฟ (แต่เราต้องทำให้แน่ใจว่าเราซูมเข้าและออกจากกราฟเพื่อให้แน่ใจว่าเราเห็นทุกสิ่งที่เราต้องดู) อย่างไรก็ตามเราไม่ทำเช่นนั้นสามารถเข้าถึงซอฟต์แวร์กราฟได้เสมอและการร่างกราฟมักจะต้องรู้เกี่ยวกับความไม่ต่อเนื่องและอื่น ๆ

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้สิ่งสำคัญที่ควรตรวจสอบคือ:

1. ไม่มีค่าลบภายใต้เครื่องหมายรูทสแควร์
2. ไม่มีค่าศูนย์ในตัวส่วน (ล่าง) ของเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาโดเมนและช่วงของฟังก์ชั่น `f (x) = sqrt (x+2)/(x^2-9) โดยไม่ต้องใช้กราฟ

สารละลาย

ในตัวเศษ (บนสุด) ของเศษส่วนนี้เรามีสแควร์รูทเพื่อให้แน่ใจว่าค่าภายใต้สแควร์รูทนั้นไม่เป็นลบเราสามารถเลือกได้เฉพาะ `x`-values ​​ขุมขนมากกว่าหรือเท่ากับ -2

ตัวส่วน (ด้านล่าง) มี `x^2-9` ซึ่งเรารู้ว่าเราสามารถเขียนเป็น` (x+3) (x-3) `ดังนั้นค่าของเราสำหรับ `x` ไม่สามารถรวม` -3` (จากวงเล็บแรก) หรือ `3` (จากที่สอง)

เราไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับ `-3` ต่อไปเพราะเราทำในขั้นตอนแรกที่` x> = -2`

ดังนั้นโดเมนสำหรับกรณีนี้คือ `x> = -2, x! = 3` ซึ่งเราสามารถเขียนเป็น` [-2,3) UU (3, oo) `

ในการหาช่วงเราพิจารณาด้านบนและด้านล่างของเศษส่วนแยกกัน

เศษ:ถ้า `x = -2` ด้านบนจะมีค่า` SQRT (2+2) = SQRT (0) = 0`เมื่อ `x` เพิ่มมูลค่าจาก` -2` ด้านบนจะเพิ่มขึ้น (ออกไปที่อินฟินิตี้ในทั้งสองกรณี)

ตัวส่วน: เราแบ่งเป็นสี่ส่วน:

เมื่อ `x = -2` ด้านล่างคือ` (-2)^2-9 = 4-9 = -5`เรามี `f (-2) = 0/(-5) = 0.`

ระหว่าง `x = -2` และ` x = 3 ', `(x^2-9)` เข้าใกล้ `0` ดังนั้น` f (x) `จะไปที่` -oo` เมื่อใกล้เข้าใกล้ `x= 3`

สำหรับ `x> 3 'เมื่อ` x` ใหญ่กว่า `3' ค่าของด้านล่างจะเกินกว่า` 0 'ดังนั้น `f (x)` จะเป็นจำนวนบวกที่มีขนาดใหญ่มาก

สำหรับ `x` ที่มีขนาดใหญ่มากด้านบนมีขนาดใหญ่ แต่ด้านล่างจะมีขนาดใหญ่กว่ามากดังนั้นโดยรวมแล้วค่าฟังก์ชันจะเล็กมาก

ดังนั้นเราสามารถสรุปช่วงคือ `(-oo, 0] uu (oo, 0)`

ดูกราฟ (ซึ่งเราวาดเพื่อตรวจสอบว่าเราอยู่ในเส้นทางที่ถูกต้อง):

แสดงกราฟ

สรุป

โดยทั่วไปเรากำหนดไฟล์โดเมนโดยการมองหาค่าเหล่านั้นของตัวแปรอิสระ (โดยปกติx) เราคืออะไรอนุญาตใช้.(เราต้องหลีกเลี่ยง 0 ที่ด้านล่างของเศษส่วนหรือค่าลบภายใต้เครื่องหมายรูทสแควร์)

ที่พิสัยพบได้โดยการค้นหาผลลัพธ์y-ค่าหลังจากเราได้ทดแทนในสิ่งที่เป็นไปได้x-ค่า

แบบฝึกหัด 1

ค้นหาโดเมนและช่วงสำหรับแต่ละรายการต่อไปนี้

(a) `f (x) = x^2+ 2`

คำตอบ

(b) `f (t) = 1/(t+2)`

คำตอบ

(c) `g (s) = sqrt (3-s)`

คำตอบ

(d) `f (x) = x^2+ 4` for`x> 2`

คำตอบ

แบบฝึกหัด 2

เรายิงลูกบอลขึ้นไปในอากาศและค้นหาความสูงชม.ในเมตรเป็นหน้าที่ของเวลาTในไม่กี่วินาทีจะได้รับจาก

ชม.= 20T- 4.9T²

ค้นหาโดเมนและช่วงสำหรับฟังก์ชันชม.-T-

คำตอบ

ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดยพิกัด

บางครั้งเราไม่มีฟังก์ชั่นต่อเนื่องเราจะทำอย่างไรในกรณีนี้?ลองดูตัวอย่าง

แบบฝึกหัด 3

ค้นหาโดเมนและช่วงของฟังก์ชั่นที่กำหนดโดยพิกัด:

`{(−4, 1), (−2, 2.5), (2, −1), (3, 2)}`

คำตอบ